প্রদত্ত রাশিটি হলো: ${\left(1-3x\right)}^5$ দ্বিপদী উপপাদ্যের সূত্রানুসারে, $(a+b{)}^n$ এর বিস্তৃতির সাধারণ পদটি হলো: $T_{r+1}={}^n{C}_r{a}^{n-r}{b}^r$ এখানে, $a=1$, $b=-3x$ এবং $n=5$। সুতরাং, সাধারণ পদটি হবে:

$T_{r+1}={}^5{C}_r(1{)}^{5-r}(-3x{)}^r$

$T_{r+1}={}^5{C}_r(1)(-3{)}^r{x}^r$

$T_{r+1}={}^5{C}_r(-3{)}^r{x}^r$

আমরা $x^2$ এর সহগ নির্ণয় করতে চাই। এর জন্য $x^r=x^2$ হতে $r=2$ বসাবো। $r=2$ হলে:

$T_{2+1}=T_3={}^5{C}_2(-3{)}^2{x}^2$

আমরা জানি, ${^5C_2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 এবং \((-3)^2 = 9 সুতরাং, ] T_3 = 10 \times 9 \times x^2 T_3 = 90 x^2 অতএব, $(1-3x{)}^5$ বিস্তৃতির $x^2$ এর সহগ হবে $90$।

প্রদত্ত রাশিটি হলো $\frac{2x^4+3x+1}{3x^2+1}$।

আমরা এটিকে ভাগ করি:
$\text{require}enclose\begin{array}{r}\frac{2}{3}{x}^2-\frac{2}{9}x-\frac{2}{27}\\ [0.2ex]3x^2+1\text{enclose}longdiv2x^4+0x^3+0x^2+3x+1\\ [-0.2ex]\underline{2x^4+0x^3+\frac{2}{3}{x}^2+3x+1}\\ [0.2ex]2x^4-\frac{2}{3}{x}^2+3x+1\\ [0.2ex]\underline{-\frac{2}{3}{x}^2+3x-\frac{2}{9}}\\ [0.2ex]2x^4-\frac{2}{3}{x}^{2}3x+1+\frac{2}{9}\\ [0.2ex]2x^4-\frac{2}{3}{x}^{2}3x+\frac{11}{9}\end{array}$

ভাগফল হলো $\frac{2}{3}{x}^2-\frac{2}{9}x+\frac{25}{27}$ এবং ভাগশেষ হলো $3x+\frac{11}{9}$।

এখন আমরা বিকল্পগুলো পরীক্ষা করি:

i. মুখ্য সহগ $\frac{2}{3}$:
ভাগফলের সর্বোচ্চ ঘাতের পদ হলো $\frac{2}{3}{x}^2$, সুতরাং মুখ্য সহগ হলো $\frac{2}{3}$। এটি সঠিক।

ii. ভাগশেষের মাত্রা 2:
ভাগশেষ হলো $3x+\frac{11}{9}$। এখানে চলক $x$-এর সর্বোচ্চ ঘাত 1, তাই ভাগশেষের মাত্রা 1। এটি ভুল।

iii. ভাগফলের মাত্রা 2:
ভাগফল হলো $\frac{2}{3}{x}^2-\frac{2}{9}x+\frac{25}{27}$। এখানে চলক $x$-এর সর্বোচ্চ ঘাত 2, তাই ভাগফলের মাত্রা 2। এটি সঠিক।

যেহেতু i এবং iii সঠিক, তাই সঠিক উত্তর হবে B।


সঠিক উত্তর: (খ) i ও iii

প্রদত্ত ধারাটি হলো $1+0.1+0.01+\cdots$

এই ধারাটির প্রথম পদ $a=1$।

সাধারণ অনুপাত $r=\frac{0.1}{1}=0.1$।

যেহেতু $|r|=|0.1|<1$, ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে।

অসীম গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টির সূত্র হলো $S=\frac{a}{1-r}$।

এখানে মান বসিয়ে পাই:

$S=\frac{1}{1-0.1}=\frac{1}{0.9}=\frac{1}{\frac{9}{10}}=\frac{10}{9}$

সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{10}{9}$

প্রদত্ত মানগুলো হলো:

${\log }_3(5+\sqrt{3x})=2$

সূত্র: লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি ${\log }_b(a)=c$ হয়, তবে $b^c=a$ ।

সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণ থেকে পাই:

$3^2=5+\sqrt{3x}$

$9=5+\sqrt{3x}$

উভয় পক্ষ থেকে $5$ বিয়োগ করে পাই:

$9-5=\sqrt{3x}$

$4=\sqrt{3x}$

উভয় পক্ষে বর্গ করে পাই:

$4^2=(\sqrt{3x}{)}^2$

$16=3x$

$x=\frac{16}{3}$

সঠিক উত্তর: (ঘ) $xy+yz+zx$

একটি বীজগাণিতিক রাশিকে প্রতিসম বলা হয় যদি তার চলরাশিদের (variables) স্থান পরিবর্তন করলেও রাশিটির মানের কোনো পরিবর্তন না হয়। চলরাশিগুলি বৃত্তাকারভাবে প্রতিস্থাপন করা হলেও যদি রাশির মানে কোনো পরিবর্তন না হয়, তবে তাকে চক্রীয় প্রতিসম রাশিও বলে।

(ক) $a^2+b+c$: এখানে $a$ এবং $b$ এর স্থান পরিবর্তন করলে রাশিটি $b^2+a+c$ হয়ে যায়, যা মূল রাশি থেকে ভিন্ন। তাই এটি প্রতিসম নয়।

(খ) $2a^2-5bc-c^2$: এখানেও চলরাশিদের স্থান পরিবর্তন করলে, যেমন $a$ এর জায়গায় $b$ এবং $c$ এর জায়গায় $a$ বসালে রাশিটি ভিন্ন হবে। এটি প্রতিসম নয়।

(গ) $x^2-y^2+z^2$: এখানে $x$ এবং $y$ এর স্থান পরিবর্তন করলে রাশিটি $y^2-x^2+z^2$ হয়ে যায়, যা মূল রাশি থেকে ভিন্ন। তাই এটি প্রতিসম নয়।

(ঘ) $xy+yz+zx$: এই রাশিটিতে চলরাশি $x,y,z$ এর স্থান পরিবর্তন করলে, যেমন $x$ এর স্থলে $y$, $y$ এর স্থলে $z$, এবং $z$ এর স্থলে $x$ বসালে রাশিটি $yz+zx+xy$ হয়, যা মূল রাশি $xy+yz+zx$ এর সমান। আবার, যেকোনো দুটি চলরাশির স্থান পরিবর্তন করলেও যেমন $x$ ও $y$ এর স্থান পরিবর্তন করলে $yx+xz+zy$ হয়, যা একই রাশি। তাই এটি একটি প্রতিসম রাশি।

সঠিক উত্তর: (ঘ) i, ii ও iii

আমরা জানি, $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

i. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{0}\right)=\frac{5!}{0!(5-0)!}=\frac{5!}{0!5!}=\frac{1}{1}=1$

কাজেই, i সঠিক।

ii. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)=\frac{5!}{1!(5-1)!}=\frac{5!}{1!4!}=\frac{5\times 4!}{1\times 4!}=5$

কাজেই, ii সঠিক।

iii. ${}^5{\text{C}}_2=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5!}{2!3!}=\frac{5\times 4\times 3!}{2\times 1\times 3!}=\frac{20}{2}=10$

কাজেই, iii সঠিক।

যেহেতু তিনটি বিবৃতিই সঠিক, তাই সঠিক উত্তর (ঘ) i, ii ও iii।

দুটি বিন্দু $(x_1,y_1)$ এবং $(x_2,y_2)$ এর মধ্যবর্তী দূরত্বের সূত্র হলো: দূরত্ব $=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

এখানে প্রদত্ত বিন্দু দুটি হলো $(0,0)$ এবং $(\cos \theta ,1)$। সুতরাং, $x_1=0$, $y_1=0$, $x_2=\cos \theta$, $y_2=1$।

এখন সূত্র ব্যবহার করে পাই:

$$\begin{gathered} \text{দূরত্ব}=\sqrt{(\cos \theta -0{)}^2+(1-0{)}^2} \\ =\sqrt{(\cos \theta {)}^2+(1{)}^2} \\ =\sqrt{{\cos }^2\theta +1} \end{gathered}$$

আমরা জানি ত্রিকোণমিতিক অভেদ থেকে পাই:

$$\begin{gathered} {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1 \\ {\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta \end{gathered}$$

এই মানটি দূরত্বের সূত্রে বসিয়ে পাই:

$$\begin{gathered} \text{দূরত্ব}=\sqrt{(1-{\sin }^2\theta )+1} \\ =\sqrt{2-{\sin }^2\theta } \end{gathered}$$

অতএব, $(0,0)$ ও $(\cos \theta ,1)$ বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব হলো $\sqrt{2-{\sin }^2\theta }$।

সঠিক উত্তর: (গ) $\sqrt{2-{\sin }^2\theta }$

$\sqrt[15]{x^{10}\sqrt{x^8\sqrt{x^4}}}$

$=\sqrt[15]{x^{10}\sqrt{x^8{x}^{4/2}}}$

$=\sqrt[15]{x^{10}\sqrt{x^8{x}^2}}$

$=\sqrt[15]{x^{10}\sqrt{x^{8+2}}}$

$=\sqrt[15]{x^{10}\sqrt{x^{10}}}$

$=\sqrt[15]{x^{10}{x}^{10/2}}$

$=\sqrt[15]{x^{10}{x}^5}$

$=\sqrt[15]{x^{10+5}}$

$=\sqrt[15]{x^{15}}$

$=x^{15/15}$

$=x^1$

$=x$

প্রদত্ত বিন্দু তিনটি হলো $P(2,-2)$, $Q(-4,2)$ এবং $R(5,t)$।

যদি তিনটি বিন্দু সমরেখ হয়, তাহলে $PQ$ এবং $QR$ রেখাংশের ঢাল সমান হবে।

$PQ$ রেখাংশের ঢাল: $m_{\text{PQ}}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{2-(-2)}{-4-2}=\frac{2+2}{-6}=\frac{4}{-6}=-\frac{2}{3}$

$QR$ রেখাংশের ঢাল: $m_{\text{QR}}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{t-2}{5-(-4)}=\frac{t-2}{5+4}=\frac{t-2}{9}$

যেহেতু বিন্দু তিনটি সমরেখ, $m_{\text{PQ}}=m_{\text{QR}}$ হবে।

সুতরাং,

$-\frac{2}{3}=\frac{t-2}{9}$

$3\times (t-2)=-2\times 9$

$3t-6=-18$

$3t=-18+6$

$3t=-12$

$t=\frac{-12}{3}$

$t=-4$

সুতরাং $t$ এর মান হলো $-4$।

সঠিক উত্তর: (A) -4

প্রদত্ত বহুপদী রাশিটি হলো $P(x)=8x^3+4x+k$।

যেহেতু $(2x-1)$ রাশিটির একটি উৎপাদক, সুতরাং উৎপাদক উপপাদ্য অনুসারে, $2x-1=0⟹x=\frac{1}{2}$ বসালে $P(x)$ এর মান শূন্য হবে।

অর্থাৎ, $P\left(\frac{1}{2}\right)=0$

$8{\left(\frac{1}{2}\right)}^3+4\left(\frac{1}{2}\right)+k=0$

$8\left(\frac{1}{8}\right)+4\left(\frac{1}{2}\right)+k=0$

$1+2+k=0$

$3+k=0$

$k=-3$

cosec(-\frac{\pi}{3}) এর মান নির্ণয় করতে আমাদের প্রথমে এর ধর্মীয় মান খুঁজতে হবে। জানি, \sin(-\theta) = -\sin(\theta)। তাহলে, \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\। সুতরাং, \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}।

cosec(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sin(-\frac{\pi}{3})} = \frac{1}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{3}}।

সঠিক উত্তর: (গ) $x={\log }_{p}y$

যদি $p^x=y$ হয়, তবে লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী $x={\log }_{p}y$ হবে। এই রূপান্তরটি লগারিদমের মৌলিক ধারণা থেকে আসে।

প্রদত্ত মান:

$\tan \theta =-\sqrt{3}$

$\pi <\theta <2\pi$

আমরা জানি, $\tan (\pi -x)=-\tan x$ এবং $\tan (2\pi -x)=-\tan x$

যেহেতু $\tan \theta =-\sqrt{3}$ এবং $\tan (\frac{\pi }{3})=\sqrt{3}$।

সুতরাং, $\theta$ দ্বিতীয় বা চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত।

যেহেতু প্রদত্ত শর্ত $\pi <\theta <2\pi$ (তৃতীয় এবং চতুর্থ চতুর্ভাগ), তাই $\theta$ চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত হবে।

$\theta =2\pi -\frac{\pi }{3}$

$\theta =\frac{6\pi -\pi }{3}$

$\theta =\frac{5\pi }{3}$

অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো (D) $\frac{5\pi }{3}$।