‎ত্রিভুজের লম্ববিন্দু  বলতে বোঝায় ত্রিভুজের প্রতিটি শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর ওপর আঁকা লম্ব রেখার ছেদবিন্দু। প্রতিটি শীর্ষবিন্দু থেকে যখন বিপরীত বাহুর ওপর একটি লম্ব আঁকা হয়, তখন তিনটি লম্ব রেখা যে বিন্দুতে একে অপরকে ছেদ করে,সেই বিন্দুটিকেই ত্রিভুজের লম্ববিন্দু বলা হয়।

গোলকের আয়তনের সূত্র:

$V_{\text{গোলক }}=\frac{4}{3}\pi r^3$

যেখানে, $r$ হল গোলকের ব্যাসার্ধ।

প্রদত্ত, গোলকের ব্যাসার্ধ $r=5$ সে.মি.

$V_{\text{গোলক }}=\frac{4}{3}\pi (5{)}^3=\frac{4}{3}\pi \times 125=\frac{500}{3}\pi \text{ ঘন সে.মি. }$

ধাপ 2: সিলিন্ডারের আয়তন নির্ণয়

সিলিন্ডারের আয়তনের সূত্র:

$V\text{ সিলিল্ডার }=\pi R^{2}h$

যেখানে, $R$ হল সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ এবং $h$ হল উচ্চতা।

প্রদত্ত, সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ $R=4$ সে.মি.

$V\text{ সিলিন্ডার }=\pi (4{)}^{2}h=16\pi h\text{ ঘন সে.মি.}$

ধাপ 3: আয়তন সমান করে উচ্চতা নির্ণয়

যেহেতু গোলক এবং সিলিন্ডারের আয়তন সমান,

$\frac{500}{3}\pi =16\pi h$

উভয় পক্ষ থেকে $\pi$ বাদ দিয়ে,

$\frac{500}{3}=16h$

$h$ এর জন্য সমাধান করলে,

$h=\frac{500}{3\times 16}=\frac{500}{48}=\frac{125}{12}\text{ সে.মি. }$

সরলীকরণ:

$h=10.4167\text{ সে.মি. }$

অত,গব, সিলিন্ডারটির উচ্চতা হল:

$\frac{125}{12}\text{ সে.মি. }$

অথবা, দশমিকে প্রকাশ করলে:

10.42 সে.মম.

বিবৃতি i:

$\begin{array}{rl}\cos \left(\beta -\frac{\pi }{6}\right)& =\cos \left(\frac{3\pi }{2}-\frac{\pi }{6}\right)=\cos \left(\frac{9\pi }{6}-\frac{\pi }{6}\right)=\cos \left(\frac{8\pi }{6}\right)=\cos \left(\frac{4\pi }{3}\right)\\ \cos \left(\frac{4\pi }{3}\right)& =-\frac{1}{2}\text{ (কারণ }\frac{4\pi }{3}\text{তৃতীয়চতুর্ভাগে এবং কোসাইন ঋণাত্মক) }\end{array}$

সঠিক।

বিবৃতি ii:

$\begin{array}{c}\mathrm{cosec}\left(\beta -\frac{\pi }{3}\right)=\mathrm{cosec}\left(\frac{3\pi }{2}-\frac{\pi }{3}\right)=\mathrm{cosec}\left(\frac{9\pi }{6}-\frac{2\pi }{6}\right)=\mathrm{cosec}\left(\frac{7\pi }{6}\right)\\ \sin \left(\frac{7\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}⟹\mathrm{cosec}\left(\frac{7\pi }{6}\right)=\frac{1}{\sin \left(\frac{7\pi }{6}\right)}=-2\end{array}$

সঠিক।

বিবৃতি iii:

$\begin{array}{c}\tan \left(\beta -\frac{\pi }{4}\right)=\tan \left(\frac{3\pi }{2}-\frac{\pi }{4}\right)=\tan \left(\frac{6\pi }{4}-\frac{\pi }{4}\right)=\tan \left(\frac{5\pi }{4}\right)\\ \tan \left(\frac{5\pi }{4}\right)=\tan \left(\pi +\frac{\pi }{4}\right)=\tan \left(\frac{\pi }{4}\right)=1(\text{ কারণ ট্যানজেন্টের পর্যায় }\pi )\end{array}$

ভুল (প্রদত্ত মান -1 এর পরিবর্তে ফলাফল 1)।

$\begin{array}{rl}\text{ ক্ষুদ্রতম কোণের মান }& =\frac{2\times 180^{\circ }}{2+5+11}=20^{\circ }\\ & =20\times \frac{\pi }{180}\text{ রেডিয়ান }=\frac{\pi }{9}\text{ রেডিয়ান }\end{array}$

গোলকের আয়তনের সূত্র:

$V_{\text{গোলক }}=\frac{4}{3}\pi r^3$

যেখানে, $r$ হল গোলকের ব্যাসার্ধ।

প্রদত্ত, গোলকের ব্যাসার্ধ $r=5$ সে.মি.

$V_{\text{গোলক }}=\frac{4}{3}\pi (5{)}^3=\frac{4}{3}\pi \times 125=\frac{500}{3}\pi \text{ ঘন সে.মি. }$

ধাপ 2: সিলিন্ডারের আয়তন নির্ণয়

সিলিন্ডারের আয়তনের সূত্র:

$V\text{ সিলিল্ডার }=\pi R^{2}h$

যেখানে, $R$ হল সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ এবং $h$ হল উচ্চতা।

প্রদত্ত, সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ $R=4$ সে.মি.

$V\text{ সিলিন্ডার }=\pi (4{)}^{2}h=16\pi h\text{ ঘন সে.মি.}$

ধাপ 3: আয়তন সমান করে উচ্চতা নির্ণয়

যেহেতু গোলক এবং সিলিন্ডারের আয়তন সমান,

$\frac{500}{3}\pi =16\pi h$

উভয় পক্ষ থেকে $\pi$ বাদ দিয়ে,

$\frac{500}{3}=16h$

$h$ এর জন্য সমাধান করলে,

$h=\frac{500}{3\times 16}=\frac{500}{48}=\frac{125}{12}\text{ সে.মি. }$

সরলীকরণ:

$h=10.4167\text{ সে.মি. }$

অত,গব, সিলিন্ডারটির উচ্চতা হল:

$\frac{125}{12}\text{ সে.মি. }$

অথবা, দশমিকে প্রকাশ করলে:

10.42 সে.মম.

$△PQR$ হতে পাই

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}\\ \Rightarrow & \overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}-\overrightarrow{PQ}\end{array}$

$△PMN$ হতে পাই $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PN}-\overrightarrow{PM}$

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PN}\uparrow \\ \Rightarrow & \frac{1}{2}\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PR}\\ \Rightarrow & \overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PR}-\frac{1}{2}\overrightarrow{PQ}\\ \Rightarrow & \overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{QR}\\ \Rightarrow & \overrightarrow{PN}-\overrightarrow{PM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{QR}\\ \therefore & \overrightarrow{QR}=2(\overrightarrow{PN}-\overrightarrow{PM})\end{array}$

রেখার সমীকরণ

$y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\left(x-x_1\right)$

$AB$ রেখার সমীকরণ,

$\begin{array}{rl}& y-2=\frac{-2-2}{1+1}(x+1)\\ \Rightarrow & y-2=-2(x+1)\\ \Rightarrow & y-2=-2x-2\\ \Rightarrow & 2x+y=0\end{array}$

সর্বচ্চ ঘাত বিশিষ্ট চলকের ঘাতকে বহুবদীর মাত্রা বলে।

দ্বিতীয় পদে xওy এর ঘাতের যোগফল 8 যা সর্বচ্চ ঘাত।

কোন রেখার উপর ঐ রেখার সমান্তরাল কোন রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য রেখাংশে দৈর্ঘ্যের সমান।

BN এর সমান্তরাল BC

তাই লম্ব অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য BC

পূরক সেট (Complementary Set)

সার্বিক সেট $A$ এবং $B\subseteq A$ হলে $B$এর পূর্রক সেট হচ্ছে $A\backslash B$ । অর্থাৎ $A\backslash B=\{x:x\in A$ এবং $x\notin B\}$ ।

প্রথম পদ $\mathrm{a}=1$ এবং সাধারণ অনুপাত, $\mathrm{r}=-\frac{1}{3}$

$\therefore 11$ তম পদ $={\mathrm{ar}}^{n-1}=1\times {\left(-\frac{1}{3}\right)}^{1r-1}=\frac{1}{3^{10}}$

১ম 8 টি পদের সমষ্টি, ${\mathrm{S}}_8=\mathrm{a}\times \frac{1-{\mathrm{r}}^8}{1-\mathrm{r}}[\mathrm{r}<1]$

$\therefore S_8=1\times \frac{1-{\left(\frac{-1}{3}\right)}^8}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1-\frac{1}{3^8}}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}\left(1-\frac{1}{3^8}\right)$

অসীমতক সমষ্টি, $S_{\infty }=\frac{a}{1-r}=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{3}{4}$

$\therefore$ তিনটি তথ্যই সঠিক।

একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে মোট সম্ভাব্য ফলাফল S = {1,2,3,4,5,6}।

এখানে মোট ফলাফলের সংখ্যা, $n(S)=6$

ছক্কায় অবস্থিত যৌগিক সংখ্যাগুলো হলো: 4 এবং 6।

অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা, $n(A)=2$

সম্ভাবনা $P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$

$=\frac{2}{6}$

$=\frac{1}{3}$

সঠিক উত্তরটি হলো: (B) $\{x\in \mathbb{R}:x\ne 2\}$ প্রদত্ত ফাংশনটি হলো $f(x)=\frac{x}{2-x}$।

একটি ভগ্নাংশ ফাংশন সংজ্ঞায়িত হবে যদি এর হর শূন্য না হয়।

অর্থাৎ, $2-x\ne 0$ হতে হবে।

এই শর্ত থেকে পাই:

$2-x\ne 0$

$-x\ne -2$

$x\ne 2$

সুতরাং, ফাংশনটির ডোমেন হলো $2$ ব্যতীত সকল বাস্তব সংখ্যা।

একে আমরা $\{x\in \mathbb{R}:x\ne 2\}$ দ্বারা প্রকাশ করতে পারি।

ধরা যাক, $x=1.2\dot{5}$, অর্থাৎ দশমিকের পরের সংখ্যা ৫ বারবার পুনরাবৃত্তি হচ্ছে।

এখন, $x=\mathrm{1.255555...}$

ধরি, $10x=\mathrm{12.5555...}$ (এটি ১ দশমিক বেড়ে গেল)

এবং, $100x=\mathrm{125.5555...}$

এবার দুটি সমীকরণ থেকে বিয়োগ করি:

$100x-10x=\mathrm{125.5555...}-\mathrm{12.5555...}$

অথবা, $90x=113$

তাহলে, $x=\frac{113}{90}$

ঢাল $=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

ঢাল $=\frac{-5-(-1)}{5-(-1)}=\frac{-5+1}{5+1}=\frac{-4}{6}=-\frac{2}{3}$