দুপুর 1:20 টায় ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটার ও মিনিটের কাঁটার অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় করতে, আমরা নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করতে পারি:
$\theta =|30H-\frac{11}{2}M|$ যেখানে, $H$ হলো ঘণ্টা এবং $M$ হলো মিনিট।
$H=1$ (দুপুর 1 টা মানে 1টা)
$M=20$ মিনিট
$\theta =|30\times 1-\frac{11}{2}\times 20|$
$\theta =|30-11\times 10|$
$\theta =|30-110|$
$\theta =|-80|$
$\theta =80^{\circ }$
সুতরাং, দুপুর 1:20 টায় ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটার ও মিনিটের কাঁটার অন্তর্ভুক্ত কোণ হলো $80^{\circ }$.

প্রদত্ত, একটি তক্তার ক্ষেত্রফল $=36\text{ বর্গ সে.মি.}$. আয়তাকার তক্তার দৈর্ঘ্য $=x\text{ সে.মি.}$ এবং প্রস্থ $=4\text{ সে.মি.}$।

আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $=$ দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ। সুতরাং, $4x\text{ বর্গ সে.মি.}$ হলো আয়তাকার তক্তার ক্ষেত্রফল।

একটি তক্তা থেকে $x\text{ সে.মি.}$ দৈর্ঘ্য ও $4\text{ সে.মি.}$ প্রস্থবিশিষ্ট আয়তাকার তক্তা নেওয়া হয়েছে, যার মোট ক্ষেত্রফল $36\text{ বর্গ সে.মি.}$। অতএব, আয়তাকার তক্তার ক্ষেত্রফল, $4x$, অবশ্যই প্রদত্ত তক্তার ক্ষেত্রফল, $36$, এর সমান বা তার থেকে ছোট হবে।

$4x\le 36$ $x\le \frac{36}{4}$ $x\le 9$

এছাড়াও, দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থের মান অবশ্যই ধনাত্মক হবে। এখানে প্রস্থ $4\text{ সে.মি.}$। দৈর্ঘ্য $x\text{ সে.মি.}$। যেহেতু, $4\text{ সে.মি.}$ প্রস্থ এবং $x\text{ সে.মি.}$ দৈর্ঘ্য, সুতরাং দৈর্ঘ্য অবশ্যই প্রস্থের চেয়ে বড় হতে হবে (যদি এটি একটি অর্থপূর্ণ আয়তক্ষেত্র হয়)। $x>4$

অতএব, $x$ এর সম্ভাব্য মান $4$ এর চেয়ে বড় এবং $9$ এর সমান অথবা ছোট। $4<x\le 9$ কিন্তু বিকল্পগুলিতে $4<x<9$ দেওয়া আছে, যা উপরের শর্তটিকে প্রতিফলিত করে।

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো: $4<x<9$।

মূল্যায়ন:

(A) $0\le x\le 9$: এই শর্তে $x$ এর মান $4$ বা তার কম হতে পারে, যা প্রদত্ত আয়তক্ষেত্রের প্রস্থের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ নয়। কারণ দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে ছোট বা সমান হওয়া সাধারণত যুক্তিসংগত নয় যখন তক্তা কাটা হয়। (B) $4<x<36$: এই শর্তে $x$ এর মান $9$ এর বেশি হতে পারে, যা তক্তার মোট ক্ষেত্রফল $36\text{ বর্গ সে.মি.}$ এর চেয়ে বেশি ক্ষেত্রফল নির্দেশ করবে ($4x>36$)। যেমন, যদি $x=10$ হয়, তবে $4\times 10=40>36$, যা সম্ভব নয়। (C) $4\le x\le 36$: এই শর্তে $x$ এর মান $9$ এর বেশি হতে পারে, যা তক্তার মোট ক্ষেত্রফল $36\text{ বর্গ সে.মি.}$ এর চেয়ে বেশি ক্ষেত্রফল নির্দেশ করবে। (D) $4<x<9$: এই শর্তে $x$ এর মান $4$ এর বেশি এবং $9$ এর কম হয়, যা প্রদত্ত তক্তার ক্ষেত্রফলের মধ্যে থাকে এবং দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে বড় হয়। $x=9$ হলে আয়তাকার তক্তার ক্ষেত্রফল $4\times 9=36\text{ বর্গ সে.মি.}$। সুতরাং $x<9$ এর পরিবর্তে $x\le 9$ হওয়া উচিত ছিল। কিন্তু প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে (D) সবচেয়ে সঠিক।

সঠিক উত্তর: (D) $4<x<9$

আমরা জানি জটিল মূলদ্বয় সবসময় জোড়ায় জোড়ায় থাকে।

একটি মূল -2+√7 হলে অপর মুলটি হবে -2-√7