প্রদত্ত $f(x)=x^2$ একটি স্কয়ার ফাংশন যা আমাদের বাস্তব সংখ্যাগুলি থেকে বাস্তব সংখ্যাগুলিতে ম্যাপ করে।

i. ডোমেইন $f=\mathbb{R}$: এই ব্যাপারটি সঠিক কারণ আমরা যে কোনও বাস্তব সংখ্যাকে ইনপুট হিসাবে ব্যবহার করতে পারি।

ii. রেঞ্জ $f=\{y\in \mathbb{R}:y\ge 0\}$: এই ব্যাপারটি সঠিক যেহেতু ফাংশন $f(x)=x^2$ এর আউটপুট কখনোই নেতিবাচক হয় না, কারণ $x^2$ সর্বদা ধনাত্মক বা শূণ্য হয়।

iii. f এক-এক ফাংশন না: একটি এক-এক ফাংশন হবে কেবল তখনই যখন ভিন্ন ইনপুটের জন্য আলাদা আউটপুট তৈরি করবে। এখানে $x^2$ ফাংশন একাধিক ইনপুটের জন্য একই আউটপুট প্রদানে সক্ষম যেমন, $f(1)=1$ এবং $f(-1)=1$। সুতরাং এটি এক-এক ফাংশন নয়।

অতএব, সঠিক উত্তর হল: i ও ii

$(1,-2)$ বিন্দুগামী, $\frac{2}{3}$ ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,

$\begin{array}{l}y+2=\frac{2}{3}(x-1)\\ \Rightarrow 3y+6=2x-2\\ \therefore 3y-2x+8=0\end{array}$

$\begin{array}{l}OA=2OB=1\\ △OAB=\frac{1}{2}OA\cdot OB\\ =\frac{1}{2}\times 2\times 1\\ =1\text{ বর্গএকক }\end{array}$

$\begin{array}{rl}& p=9=0\\ & p={\log }_{a}bc\\ \Rightarrow & bc=a^p=a^0\\ & bc=1\\ & q={\log }_{c}ab\\ \Rightarrow & ab=c^q=c^0=1\\ & ab=1\\ \therefore & ab+bc=1+1=2\end{array}$

প্রদত্ত:

$\cos \left(\frac{n\pi }{2}\right),n\in \mathbb{R}$

এখানে $n$ ধারাবাহিক বাস্তব সংখ্যা হলে, $\frac{n\pi }{2}$ কোণের কোসাইন মান প্রতি $n$ বৃদ্ধিতে পরিবর্তিত হবে।

১ম তিনটি মান বলতে সম্ভবত $n=0,1,2$ নেওয়া হয়েছে।

$n=0:\cos (0)=1$

$n=1:\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=0$

$n=2:\cos (\pi )=-1$

সুতরাং: ১ম তিনটি মান: $1,0,-1$

প্রদত্ত সূচকীয় রাশিটি সরলীকরণ করতে হবে। ধাপে ধাপে সমাধানটি নিচে দেওয়া হলো:

প্রথমে, সবচেয়ে ভিতরের অংশটি সরল করি:

$\sqrt{a^4}=a^{4/2}=a^2$

এবার, এর বাইরের অংশটি সরল করি:

$\sqrt{\left(a^6\right)\sqrt{a^4}}=\sqrt{a^6\cdot a^2}=\sqrt{a^{6+2}}=\sqrt{a^8}=a^{8/2}=a^4$

সবশেষে, পুরো রাশিটি সরল করি:

$\sqrt[16]{\left(a^{12}\right)\sqrt{\left(a^6\right)\sqrt{a^4}}}=\sqrt[16]{a^{12}\cdot a^4}=\sqrt[16]{a^{12+4}}=\sqrt[16]{a^{16}}$

সুতরাং, চূড়ান্ত মান হলো:

$a^{16/16}=a^1=a$

অতএব, $\sqrt[16]{\left(a^{12}\right)\sqrt{\left(a^6\right)\sqrt{a^4}}}$ এর মান হলো a।

প্রদত্ত ধারাটি:

$4-4+4-4+\dots$

ধারাটির প্রকৃতি বিশ্লেষণ

প্রতিটি বিজোড় পদ (১ম, ৩য়, ৫ম, ...): +4

প্রতিটি জোড় পদ (২য়, 8র্থ, ৬ষ্ঠ, ...): -4

110টি পদের মধ্যে পদ সংখ্যা গণনা

বিজোড় পদ সংখ্যা: $\frac{110}{2}=55$

জোড় পদ সংখ্যা: 55

সমষ্টি নির্ণয়

বিজোড় পদের সমষ্টি: $55\times 4=220$

জোড় পদের সর্মষ্টি: $55\times (-4)=-220$

মোট সর্মষ্টি: $220+(-220)=0$

এখানে ঢাল $=\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$

যদি রেখাটি $y=\sqrt{3}x+C,$

যা $(-1,\sqrt{3})$ বিন্দুগামী।

$\begin{array}{l}\sqrt{3}=\sqrt{3}(-1)+C\\ C=2\sqrt{3}\end{array}$

$\therefore$ রেখাটি, $y=\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$

$\Rightarrow y-\sqrt{3}x=2\sqrt{3}$

$x\text{-অক্ষে }y=0$

$y$ এর মান বসিয়ে পাই,

$\begin{array}{c}3x+2\times 0+6=0\\ \Rightarrow 3x=-6\\ x=-2\end{array}$

$\therefore$ ছেদবিন্দু $(-2,0)$.

$\begin{array}{l}2x+y-x=0\dots \text{ (1) }\\ x=2\dots \text{ (2) }\end{array}$

$x$ এর মান (1) এ বসাই,

$\begin{array}{l}2\times 2+y-x=0\\ y=7-4=3\end{array}$

$\therefore$ ছেদবিন্দু $(2,3)$, যা প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত।

বিবৃতি i:

$\begin{array}{rl}\cos \left(\beta -\frac{\pi }{6}\right)& =\cos \left(\frac{3\pi }{2}-\frac{\pi }{6}\right)=\cos \left(\frac{9\pi }{6}-\frac{\pi }{6}\right)=\cos \left(\frac{8\pi }{6}\right)=\cos \left(\frac{4\pi }{3}\right)\\ \cos \left(\frac{4\pi }{3}\right)& =-\frac{1}{2}\text{ (কারণ }\frac{4\pi }{3}\text{তৃতীয়চতুর্ভাগে এবং কোসাইন ঋণাত্মক) }\end{array}$

সঠিক।

বিবৃতি ii:

$\begin{array}{c}\mathrm{cosec}\left(\beta -\frac{\pi }{3}\right)=\mathrm{cosec}\left(\frac{3\pi }{2}-\frac{\pi }{3}\right)=\mathrm{cosec}\left(\frac{9\pi }{6}-\frac{2\pi }{6}\right)=\mathrm{cosec}\left(\frac{7\pi }{6}\right)\\ \sin \left(\frac{7\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}⟹\mathrm{cosec}\left(\frac{7\pi }{6}\right)=\frac{1}{\sin \left(\frac{7\pi }{6}\right)}=-2\end{array}$

সঠিক।

বিবৃতি iii:

$\begin{array}{c}\tan \left(\beta -\frac{\pi }{4}\right)=\tan \left(\frac{3\pi }{2}-\frac{\pi }{4}\right)=\tan \left(\frac{6\pi }{4}-\frac{\pi }{4}\right)=\tan \left(\frac{5\pi }{4}\right)\\ \tan \left(\frac{5\pi }{4}\right)=\tan \left(\pi +\frac{\pi }{4}\right)=\tan \left(\frac{\pi }{4}\right)=1(\text{ কারণ ট্যানজেন্টের পর্যায় }\pi )\end{array}$

ভুল (প্রদত্ত মান -1 এর পরিবর্তে ফলাফল 1)।

$\begin{array}{c}\sin 5A=\cos 5A\\ \Rightarrow \frac{\sin 5A}{\cos 5A}=1\\ \Rightarrow \tan 5A=\tan 45^{\circ }\\ \Rightarrow 5A=45^{\circ }\\ \therefore A=9^{\circ }\end{array}$

$\begin{array}{l}\theta =180-120=60^{\circ }\\ \theta +\angle ROP=90\\ \Rightarrow \angle ROP=90-\theta =90^{\circ }-60^{\circ }\\ \angle ROP=30^{\circ }\\ \sin \angle ROP=\sin 30^{\circ }\\ =\frac{1}{2}\end{array}$

প্রদত্ত অনুক্রম: $1,0,1,0,\dots$

i. সাধারণ পদ যাচাই:

প্রস্তাবিত সাধারণ পদ:

$a_n=\frac{1-(-1{)}^{3n}}{2}$

যাচাই:

$n=1:\frac{1-(-1{)}^3}{2}=\frac{1-(-1)}{2}=1$

$n=2:\frac{1-(-1{)}^6}{2}=\frac{1-1}{2}=0$

$n=3:\frac{1-(-1{)}^9}{2}=1$

$n=4:\frac{1-(-1{)}^{12}}{2}=0$

কিন্তু, $n\in \mathbb{R}$ (যেকোনো বাস্তব সংখ্যা) হলে এর্টি ভুল, কারণ $(-1{)}^{3n}$ শুধুমাত্র $n\in \mathbb{Z}$ (পূর্ণসংখ্যা) এর জন্য সংজ্ঞায়িত।

সিদ্ধান্ত: $\mathbf{X}$ (শর্ত $n\in \mathbb{R}$ অগ্রহণযোগ্য)।

ii. 10ম পদ:

বিজোড় স্থানে ( $n$ বিজোড়) পদ $=1$, জোড় স্থানে ( $n$ জোড়) পদ $=0$ ।

10 একর্টি জোড় সংখ্যা, তাই 10ম পদ = 0(সঠিক)

iii. প্রথম 15 টি পদের সমষ্টি:

বিজোড় পদ সংখ্যা $=8$ টি $(1$ ম, 3 য়, ..., 15 তম $)\to$ মান $=1$

জোড় পদ সংখ্যা $=7$ টি $(2$ য়, 4 র্থ, ..., 14 তম $)\to$ মান $=0$

সমষ্টি $=8\times 1+7\times 0=8$(সঠিক)

সরল রেখার মানক রূপ হলো $y=mx+c$, যেখানে $m$ হলো রেখার ঢাল এবং $c$ হলো $y$-অক্ষের ছেদক। দেওয়া সমীকরণকে আমরা এই রূপে নিয়ে আসি:

$2x-2y+1=0$

$-2y=-2x-1y=x+\frac{1}{2}$

তাহলে রেখার ঢাল $m=1।$

y -অক্ষের ছেদক $c=\frac{1}{2}$

ধাপ ৩: x-অক্ষের সাথে তৈরি কোন নির্ণয়

যেহেতু রেখার ঢাল $m=1$, এবং ঢাল ধনাত্মক, তাই রেখাটি $x$-অক্ষের সাথে ধন্নাতক দিকে সুক্ষ কোন তৈরি করে ।