সঠিক উত্তর: (গ) $42$ সেমি

ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্যের অনুপাত হলো $3:5:7$। ধরি, ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $3x$, $5x$ এবং $7x$ সেমি।

ত্রিভুজের পরিসীমা হলো বাহুগুলির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি। প্রদত্ত পরিসীমা $90$ সেমি।

$3x+5x+7x=90$

$15x=90$

$x=\frac{90}{15}$

$x=6$

বৃহত্তর বাহুর দৈর্ঘ্য হলো $7x$। বৃহত্তর বাহুর দৈর্ঘ্য $=7\times 6=42$ সেমি।

প্রদত্ত মানসমূহ:

$a:b=9:4$

$b:c=6:7$

$a:c=?$

সূত্র:

আমরা $a:b$ এবং $b:c$ অনুপাতকে এমনভাবে সমন্বয় করব যাতে $b$-এর মান উভয় অনুপাতেই একই হয়।

$a:b=9:4=9\times 6:4\times 6=54:24$

$b:c=6:7=6\times 4:7\times 4=24:28$

সুতরাং, $a:b:c=54:24:28$

সমাধান:

$a:c=54:28$

উভয় পদকে $2$ দ্বারা ভাগ করে,

$a:c=\frac{54}{2}:\frac{28}{2}$

$a:c=27:14$

সঠিক উত্তর: (খ) $27:14$

সঠিক উত্তর: (A) $10:11$

যদি ক্রয়মূল্য $100$ টাকা হয়, তাহলে $10\%$ লাভে বিক্রয়মূল্য হবে $100+10=110$ টাকা।

ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্যের অনুপাত হলো:

$\text{ক্রয়মূল্য}:\text{বিক্রয়মূল্য}=100:110$

$\text{ক্রয়মূল্য}:\text{বিক্রয়মূল্য}=10:11$

একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ হলে, বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে $\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}$।

সুতরাং, বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য ও কর্ণের দৈর্ঘ্যের অনুপাত হলো $a:a\sqrt{2}$।

এটি $1:\sqrt{2}$ এর সমান।

প্রদত্ত মানসমূহ:

$\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}=2$

$a-\frac{1}{a}=?$

সূত্র: আমরা জানি $x+\frac{1}{x}=y$ হলে, $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$। আমরা আরও জানি $x-\frac{1}{x}=\pm \sqrt{(x+\frac{1}{x}{)}^2-4}$।

সমাধান: প্রথমে, $\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}=2$ কে বর্গ করে পাই:

${\left(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)}^2=2^2$

$(\sqrt{a}{)}^2+2\cdot \sqrt{a}\cdot \frac{1}{\sqrt{a}}+{\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)}^2=4$

$a+2+\frac{1}{a}=4$

$a+\frac{1}{a}=4-2$

$a+\frac{1}{a}=2$

এখন, $a-\frac{1}{a}$ এর মান নির্ণয় করি:

$(a-\frac{1}{a}{)}^2={\left(a+\frac{1}{a}\right)}^2-4$

উভয় পাশে বর্গমূল করে পাই:

$a-\frac{1}{a}=\pm \sqrt{{\left(a+\frac{1}{a}\right)}^2-4}$

$a+\frac{1}{a}=2$ মানটি বসিয়ে পাই:

$a-\frac{1}{a}=\pm \sqrt{(2{)}^2-4}$

$a-\frac{1}{a}=\pm \sqrt{4-4}$

$a-\frac{1}{a}=\pm \sqrt{0}$

$a-\frac{1}{a}=0$

সঠিক উত্তর: (A) $0$

সঠিক উত্তর: (গ) $\sqrt{2}$

যদি $\sin \theta =\cos \theta$ হয়, তাহলে আমরা $\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=1$ লিখতে পারি।

অর্থাৎ, $\tan \theta =1$.

যখন $\tan \theta =1$ হয়, তখন $\theta =45^{\circ }$.

এখন, $\sin \theta +\cos \theta$ এর মান নির্ণয় করি: $\sin 45^{\circ }+\cos 45^{\circ }$ $\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\frac{1+1}{\sqrt{2}}$ $\frac{2}{\sqrt{2}}$ $\frac{2\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}$ $\frac{2\sqrt{2}}{2}$ $\sqrt{2}$

প্রদত্ত মানসমূহ:

$\cos \theta =\frac{1}{2}$

$\cot \theta =?$

সূত্র:

আমরা জানি, ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$

$\cot \theta =\frac{\cos \theta }{\sin \theta }$

সমাধান:

${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$

${\sin }^2\theta =1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2$

${\sin }^2\theta =1-\frac{1}{4}$

${\sin }^2\theta =\frac{4-1}{4}$

${\sin }^2\theta =\frac{3}{4}$

$\sin \theta =\sqrt{\frac{3}{4}}$

$\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$

এখন, $\cot \theta =\frac{\cos \theta }{\sin \theta }$

$\cot \theta =\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$\cot \theta =\frac{1}{2}\times \frac{2}{\sqrt{3}}$

$\cot \theta =\frac{1}{\sqrt{3}}$

প্রদত্ত মানসমূহ:

বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r=4$ সেমি কেন্দ্রের উৎপন্ন কোণ $\theta =60^{\circ }$ চাপের দৈর্ঘ্য $s=?$

সূত্র:

বৃত্তকলার চাপের দৈর্ঘ্য $s=r\theta$, যেখানে $\theta$ রেডিয়ানে প্রকাশিত হয়।

প্রথমে কোণকে ডিগ্রিতে রূপান্তর করি:

$\theta =60^{\circ }=60\times \frac{\pi }{180}$ রেডিয়ান

$\theta =\frac{\pi }{3}$ রেডিয়ান

এবার চাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি:

$s=r\theta$

$s=4\times \frac{\pi }{3}$

সমাধান:

$s=4\times \frac{3.14159}{3}$

$s\approx 4\times 1.047196$

$s\approx 4.188784$ সেমি

redondeado a dos decimales, $s\approx 4.19$ সেমি।

সঠিক উত্তর: (B) $43.46$

একটি সুষম অষ্টভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো:

$\text{Area}=2(1+\sqrt{2})a^2$

যেখানে $a$ হলো প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য।

প্রদত্ত মান: $a=3$ সেমি

সূত্র:

$\text{ক্ষেত্রফল}=2(1+\sqrt{2})a^2$

$\text{ক্ষেত্রফল}=2(1+\sqrt{2})(3{)}^2$

সমাধান:

$\text{ক্ষেত্রফল}=2(1+1.4142)\times 9$

$\text{ক্ষেত্রফল}=2(2.4142)\times 9$

$\text{ক্ষেত্রফল}=4.8284\times 9$

$\text{ক্ষেত্রফল}=43.4556\approx 43.46\text{ বর্গসেমি}$

সঠিক উত্তর: (খ) শ্রেণির গণসংখ্যা

শ্রেণির গণসংখ্যা বলতে একটি নির্দিষ্ট শ্রেণিতে যতগুলো উপাত্ত অন্তর্ভুক্ত হয়, তার সংখ্যাকে বোঝায়। এটি ডেটা সারণিভুক্তকরণের একটি গুরুত্বপূর্ণ অংশ, যা প্রতিটি শ্রেণিতে উপাত্তের বণ্টন নির্দেশ করে।

সঠিক উত্তর: (D) $8$

$A=\{x\in \mathbb{N}:1\le x\le 20\}$ সেটের মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: $2,3,5,7,11,13,17,19$

এই সেটে $8$টি মৌলিক সংখ্যা আছে।

প্রদত্ত ফাংশনটি হলো: \ f(x) = x^2 - ax + 3 \ এবং দেওয়া আছে, \ f(1) = 0 \ উপরের ফাংশনে $x=1$ বসিয়ে পাই: \ f(1) = (1)^2 - a(1) + 3 \

\ 0 = 1 - a + 3 \

\ 0 = 4 - a \ এখন, $a$-এর মান বের করি: \ a = 4 \ সুতরাং, $a$-এর মান $4$ হলে $f(1)=0$ হবে।

প্রদত্ত মানসমূহ: $P=\{2,3\}$ $Q=\{1,4\}$ $P\setminus Q=?$

সূত্র: সেট অন্তর (set difference) $A\setminus B$ মানে হলো A সেটের সেই সকল উপাদান যা B সেটে নেই।

সমাধান: $P=\{2,3\}$ $Q=\{1,4\}$

$P\setminus Q$ হবে P সেটের সেই উপাদানগুলো যা Q সেটে নেই। P সেটে 2 এবং 3 আছে, এবং এই 2 ও 3 উপাদানগুলো Q সেটে নেই।

সুতরাং, $P\setminus Q=\{2,3\}$।