$\begin{array}{l}x-y=1\\ \Rightarrow y=x-1\dots (i)\\ 4x-3y=10\\ \Rightarrow 4x-3x+3=10\\ \therefore x=7\end{array}$

প্রদত্ত,

$\frac{1}{3^{-x}}=81$

আমরা জানি,

$\frac{1}{a^{-n}}=a^n$

অতএব,

$3^x=81$

এখন,

$81=3^4$

সুতরাং,

$3^x=3^4$

অতএব,

$x=4$

এখানে,

102°=<A+<P

<P=102°-65°

<P=37°

$1+3+5+\cdots +101$

সমান্তর ধারাটির ১ম পদ, $a=1$

সমান্তর ধারাটির অন্তর $d=2$

$\begin{array}{rl}\therefore n\text{ তম পদ }& =a+(n-1{)}^2\\ & =1+(n-1{)}^2\\ & =1+2n-2\\ & =2n-1\end{array}$

প্রশ্নমতে,

$\begin{array}{rl}& 2n-1=101\\ \Rightarrow & 2n=102\\ \therefore & n=51\\ \text{ পদসংখ্যা}& =51\end{array}$

যদি $a:b=c:d$ হয়, তাহলে অনুপাতে গুণ নেওয়া হলে $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ একটি সমানুপাত সূত্র পাওয়া যাবে।

এটি থেকে আমরা ক্রস গুণ করে পাই: $a\times d=b\times c$

অতএব, দেওয়া অপশনগুলোর মধ্যে সঠিক উত্তর হলো: $\mathrm{bc}=\mathrm{ad}$.

একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমান সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য $12\text{ সে.মি.}$ হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।

1. প্রদত্ত মানসমূহ:
- সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য, $a=12\text{ সে.মি.}$

2. নির্ণেয়:
- ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $A=?$

3. সূত্র:
একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো:
$A=\frac{1}{2}\times \text{ভূমি}\times \text{উচ্চতা}$
যেহেতু এটি একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ, তাই এর ভূমি এবং উচ্চতা সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমান।

4. সমাধান:
আমরা জানি, সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
$A=\frac{1}{2}\times a\times a=\frac{1}{2}{a}^2$
এখানে, $a=12\text{ সে.মি.}$

মান বসিয়ে পাই,
$A=\frac{1}{2}\times (12\text{ সে.মি.})\times (12\text{ সে.মি.})$
$A=\frac{1}{2}\times 144\text{ বর্গ সে.মি.}$
$A=72\text{ বর্গ সে.মি.}$

প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী,

$x=0.\dot{4}=\frac{4}{9}$

$y=0.\dot{8}=\frac{8}{9}$

বিবৃতি i. এর যাচাই:

$x+y=\frac{4}{9}+\frac{8}{9}=\frac{4+8}{9}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$

এখন, $\frac{4}{3}=\mathrm{1.333...}=1.\dot{3}$

অতএব, $x+y=1.\dot{3}$। প্রশ্নপত্রে $1.3$ দেওয়া আছে, যা $1.\dot{3}$ এর সমান নয়। তবে কিছু কিছু ক্ষেত্রে $\mathrm{1.333...}$ কে $1.3$ হিসাবে লেখা হয়ে থাকে, সম্ভবত এক্ষেত্রে তাই ধরা হয়েছে। যদি $1.3$ বলতে $1.\dot{3}$ বোঝানো হয়, তাহলে বিবৃতিটি সঠিক।

বিবৃতি ii. এর যাচাই:

$xy=\frac{4}{9}\times \frac{8}{9}=\frac{4\times 8}{9\times 9}=\frac{32}{81}$

অতএব, বিবৃতি ii. সঠিক।

বিবৃতি iii. এর যাচাই:

$\frac{x}{y}=\frac{\frac{4}{9}}{\frac{8}{9}}=\frac{4}{9}\times \frac{9}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

এখন, $\frac{1}{2}=0.5$

অতএব, বিবৃতি iii. সঠিক।

প্রশ্নের সমাধান অনুযায়ী, i, ii ও iii সঠিক। এখানে $1.3$ কে $1.\dot{3}$ হিসাবে ধরা হয়েছে।

চার পাখাবিশিষ্ট একটি সিলিং ফ্যানের ঘূর্ণন প্রতিসমতার মাত্রা 4

প্রদত্ত, $\tan A=1$।আমরা জানি, $\tan 45^{\circ }=1$।সুতরাং, $\tan A=\tan 45^{\circ }$।উভয় পাশ থেকে ট্যান বাদ দিলে, $A=45^{\circ }$।এখন আমাদের $\cos A$ এর মান নির্ণয় করতে হবে।$\cos A=\cos 45^{\circ }$আমরা জানি, $\cos 45^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{2}}$।সুতরাং, $\cos A=\frac{1}{\sqrt{2}}$।

$\begin{array}{rl}(-5,-3)\text{ বিন্দু }x& \text{ অক্ষ }\text{ থেকে}\\ =|y|& \Rightarrow |-3|=3\text{ দূরে অবস্থিত }\\ & \end{array}$