অজিভরেখা সর্বদাই ঊর্ধ্বগামী কারণ অজিভরেখার y- অক্ষ বরাবর ক্রমযোজিত গণসংখ্যা স্থাপন করা হয়।

সুষম অষ্টভুজের শীর্ষ কোণের মান $=\frac{(8-2)}{8}\times 180^{\circ }=135^{\circ }$

আমরা জানি ,

$\begin{array}{l}\text{ কোনো n বাহুবিশিষ বহুভুজের শীর্ষকোন, }=\frac{n-2}{n}\times 140^{\circ }\\ \text{ অষ্টভুজের ক্ষেত্রে, }n=8\\ \therefore \text{ কোণের মান }=\frac{8-2}{8}\times 180^{\circ }=135^{\circ }\end{array}$

প্রদত্ত, $a-b=2$ এবং $ab=3$. আমরা $a^3-b^3$ এর মান নির্ণয় করতে চাই।

$a^3-b^3$ এর সূত্র প্রয়োগ

$a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)$

$a^2+b^2$ নির্ণয়

আমরা জানি,

$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

প্রদত্ত $a-b=2$ এবং $ab=3$ ব্যবহার করে:

$\begin{array}{c}{2}^2=a^2-2\times 3+b^2\\ 4=a^2-6+b^2\\ a^2+b^2=4+6=10\end{array}$

$a^3-b^3$ এর মান নির্ণয়

$a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)=2\times (10+3)=2\times 13=26$

বিন্দুটির ভুজ ধনাত্মক এবং কোটি ঋণাত্মক অতএব বিন্দুটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত

উত্তর:
গ) বইয়ের সংখ্যা হলো বিচ্ছিন্ন চলক।

ব্যাখ্যা:

• বিচ্ছিন্ন চলক : যে চলক কেবল পূর্ণসংখ্যা মান নিতে পারে এবং গণনা করা যায় (যেমন: বইয়ের সংখ্যা, ছাত্রের সংখ্যা ইত্যাদি)।

  • বইয়ের সংখ্যা → ১টি, ২টি, ৩টি ইত্যাদি (ভগ্নাংশ হয় না)।

• অন্যান্য অপশনগুলো অবিচ্ছিন্ন চলক:

• দৈর্ঘ্য: ৫.৩ মিটার, ২.৭৫ মিটার ইত্যাদি (যেকোনো বাস্তব মান নেয়)।

  • ভর: ৩.৫ কেজি, ৭.২১ কেজি ইত্যাদি।

  • মানুষের বয়স: যদিও বয়স পূর্ণসংখ্যায় প্রকাশ করা হয়, তত্ত্বগতভাবে এটি অবিচ্ছিন্ন (যেমন: ২৫.৫ বছর)।

$(-2,-3)$

$x-y=1$ সমীকরণে বসিয়ে,

$\begin{array}{rl}\text{ L.H.S. }& =x-y\\ & =-2-(-3)\\ & =-2+3\\ & =1\\ & =\text{ R.H.S. }\end{array}$

$\therefore (-2,-3)$ বিন্দুটি $x-y=1$ সমীকরণকে সিদ্ধ করে।

(2,-3) বিন্দুটি x - y = 1 রেখার উপর অবস্থিত।

$△PQR\to$

$\begin{array}{l}\cos 60^{\circ }=\frac{PQ}{PR}\\ \Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{3}{PR}\\ \therefore PR=6=\sqrt{36}\end{array}$

প্রদত্ত সমীকরণ:

$x+\frac{1}{x}=5$

ধাপ 1: $x^2+\frac{1}{x^2}$ এর মান নির্ণয়

প্রথমে $x^2+\frac{1}{x^2}$ গর মান বের করব। আমরা জানি:

${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2=x^2+2\cdot x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=x^2+2+\frac{1}{x^2}$

অতএব:

$x^2+\frac{1}{x^2}={\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2-2=5^2-2=25-2=23$

ধাপ 2: $x^2-\frac{1}{x^2}$ এর মান नির্ণয়

$x^2-\frac{1}{x^2}$ এর মান নির্ণয় করতে হলে:

$x^2-\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x-\frac{1}{x}\right)$

এখানে $x-\frac{1}{x}$ এর মান নির্ণয় করতে হবে। আমরা জানি:

${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^2=x^2-2\cdot x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=x^2-2+\frac{1}{x^2}$

অতএব:

$\begin{array}{rl}{\left(x-\frac{1}{x}\right)}^2=& x^2+\frac{1}{x^2}-2=23-2=21\\ & x-\frac{1}{x}=\sqrt{21}\end{array}$

অতএব:

$x^2-\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x-\frac{1}{x}\right)=5\times \sqrt{21}=5\sqrt{21}$

$x^3+\frac{1}{x^3}$ এর মান নির্ণয়

$x^3+\frac{1}{x^3}$ এর মান নির্ণয় করতে হলে:

$x^3+\frac{1}{x^3}={\left(x+\frac{1}{x}\right)}^3-3\cdot x\cdot \frac{1}{x}\left(x+\frac{1}{x}\right)$

অতএব:

$x^3+\frac{1}{x^3}=5^3-3\times 5=125-15=110$

$x^2-5x+1=0$ এর সত্যতা যাচাই

প্রদত্ত সমীকরণ $x+\frac{1}{x}=5$ কে $x$ দ্বারা গুণ করে পাই:

$\begin{array}{c}{x}^2+1=5x\\ x^2-5x+1=0\end{array}$

অত,এব, $x^2-5x+1=0$ সঠিক।

উত্তর:

i. $x^2-\frac{1}{x^2}=5\sqrt{21}$ সঠিক

ii. $x^3+\frac{1}{x^3}=110$ সঠিক

iii. $x^2-5x+1=0$ সঠিক

অত,এব, i, ii, এবং iii সবগুলি সঠিক।

$\begin{array}{rl}& 8^{x+3}=64\\ \Rightarrow & 8^{x+3}=8^2\\ \Rightarrow & x+3=2\\ \Rightarrow & x=2-3=-1\\ & \therefore x=-1\end{array}$

এখানে,

$a:b=3:4\therefore \frac{a}{b}=\frac{3}{9}=\frac{9}{12}$

আবার, $b:c=6:7$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \frac{b}{c}=\frac{6}{7}\\ & \Rightarrow \frac{b}{c}=\frac{12}{14}\\ \therefore a:b:c& =9:12:14\end{array}$

$\begin{array}{rl}& BC=\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}\\ =& \sqrt{5^2-4^2}\\ =& 3\text{ একক }\end{array}$

$\therefore ABCD$ এর ক্ষেত্রফল

$=AB\times BC$

$=4\times 3=12$ বর্গ একক

$\theta =0^{\circ }$ হলে,

(i)

$\mathrm{cosec}\theta =\mathrm{cosec}{0}^{\circ }$

= অসংজ্ঞায়িত

$\cot \theta =\cot 0^{\circ }$

= অসংজ্ঞায়িত

(ii) $\theta =0^{\circ }$ হলে

আদি বাহু ও প্রান্তীয় বাহু একই

যেমন-

$\to \frac{অদিবাহু}{প্রান্তীয়বাহু}$

(iii)

$\begin{array}{l}\sec \theta =\sec 0^{\circ }=1\\ \tan \theta =\tan 0^{\circ }=0\end{array}$

$\therefore \sec \theta ও\tan \theta$ এর মান সংজ্ঞারিত

অভেদ এর ক্ষেত্রে-

(ⅰ) সকল বীজগণিতীয় সূত্রই অভেদ।

(ⅰⅰ) সকল অভেদই সমীকরণ ।

(ⅰⅰⅰ) সকল সমীকরণ অঙ্গে নয়।

$\begin{array}{l}\text{ সংখ্যা দুটির অনুপাত }3:4\\ \text{ ধরি, সংখ্যা দুটির গসাগু, }=x\\ \therefore \text{ সংখ্যা দুটি }(3x,4x)\\ \text{ এখন, }x=3\\ \therefore \text{ সংখ্যা দুটি }(9,12)\\ (9,12)\text{ এর লসাগু }=36\text{. }\end{array}$

গোলক হল ত্রি-মাত্রিক বস্তু যার মধ্যে দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা রয়েছে, যা একটি ত্রিমাত্রিক স্থান তৈরি করে।

অতএব, সঠিক উত্তরটি হল:

গোলক