সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 7

এবং সাধারণ অন্তর d = 13 - 7 = 6

.:. ধারাটির 20-তম পদ = a + ( 20 – 1)d = 7 + 19 × 6 = 121

\(1+3+5 ......+1001\). ধরি, পদ সংখ্যা = n, তাহলে, \(2n-1 = 1001\) \(\implies 2n = 1002 \implies n = 501\). \(\therefore\) নির্ণেয় যোগফল = \((501)^2 = 251001\)

\(3+10+17+24+\cdots\)

১ম পদ, \(a=3\)

সাধারণ অন্তর, \(d=10-3\)

\(=7\)

\(\begin{aligned} n \text { তম পদ} & =a+(n-1) d \\ \therefore 8\text { তম পদ} & =a+(8-1) d \\ & =3+7 \times 7 \\ & =52 \end{aligned}\)

সাধারণ অন্তর = 98 - 100=-2

সমষ্টি \(S = \frac{n}{2} \{2a + (n-1)d\} = \frac{10}{2} \{2 \times 5 + (10-1)6\}\)

\(= 5 (10 + 9 \times 6) = 5(10 + 54) = 5 \times 64 = 320\)

\(1+3+5+...+1001\)

এখানে, \(a=1, d=3-1=5-3=2,\)

তাহলে পদসংখ্যা = \(n\) হলে, \(1001 = a+(n-1)d\)

\(\Rightarrow 1001 = 1+(n-1)\times 2\)

\(\Rightarrow \frac{1001-1}{2} = 500 \Rightarrow n=501\)

\(1+3+5+...+1001 = n^2 = (501)^2 = 251001\)

১ম পদ, a=8

সাধারণ অন্তর, d=16−8=8

n তম পদ =a+(n−1)d

∴ ৯ তম পদ =8+(9−1)8

=8+64

=72

\(S_{51} = \frac{51(51' + 1)}{2} = 51 \times 26 = 1326\)

অনুক্রমটির সাধারণ পদ \((3n + 3)\)

\(\therefore\) 41 তম পদ \(= 3 \times 41 + 3 = 126\)

সমান্তর ধারাটির n-তম পদ 302 হলে,

\(\begin{aligned} \mathrm{n} & =\frac{\text { শেষ পদ - প্রথম পদ }}{\text { সাধারণ অন্তর }}+1 \\ & =\frac{302-5}{3}+1=100 \end{aligned}\)

n-তম পদ \(= a + (n - 1)d\)

বা, \(- 27 = 23 + (n - 1) (21 - 23)\)

বা, \(- 27 - 23 = - 2n + 2\)

বা, \(2n = 52 \therefore n = 26\)

\(\therefore S_n = \frac{n}{2} \{2a + (n - 1)d\}\)

\(= \frac{26}{2} \{2 \times 23 + (26 - 1) (- 2)\}\)

\(= 13(46 - 50) = - 52\)

The given series is:

\(1+3+5+7+\ldots\)

This is an arithmetic series, where:

• First term, \(a=1\)

• Common difference, \(d=2\)

• Number of terms, \(\boldsymbol{n}=9\)

The sum of the first \(\boldsymbol{n}\) terms of an arithmetic series is given by the formula:

\(S_{n}=\frac{n}{2} \times(2 a+(n-1) d)\)

Substituting the values:

\(\begin{aligned} S_{9}=\frac{9}{2} & \times(2 \times 1+(9-1) \times 2) \\ & =\frac{9}{2} \times(2+16) \\ & =\frac{9}{2} \times 18 \\ & =\frac{162}{2}=81 \end{aligned}\)

\(1+3+5+\cdots+101\)

সমান্তর ধারাটির ১ম পদ, \(a=1\)

সমান্তর ধারাটির

অন্তর

\(\begin{aligned} \therefore n \text { তম পদ } & =a+(n-1)^{2} \\ & =1+(n-1)^{2} \\ & =1+2 n-2 \\ & =2 n-1 \end{aligned}\)

প্রশ্নমতে,

\(\begin{aligned} & 2 n-1=101 \\ \Rightarrow & 2 n=102 \\ \therefore & n=51 \\ \text { পদসংখ্যা} & =51 \end{aligned}\)