আমরা প্রদত্ত চিত্রে \(\triangle A B C\) ত্রিভুজটি দেখতে পাচ্ছি, যা একটি সমকোণী ত্রিভুজ ( \(\left.\angle A=90^{\circ}\right)\) ।

ট্রিগোনোমেট্রির সূত্র অনুযায়ী,

\(\sin \theta=\frac{\text { লম্ব}}{\text { অবস্থিত}}\)

এখানে, \(\angle B\) এর জন্য:

লম্ব (উচ্চতা) \(=A C=2\)

অবস্থিত (কর্ণ) \(=B C\)

ভূমি \(=A B=3\)

ধাপ ১: কর্ণ BC নির্ণয়

পাইথাগোরাস সূত্র প্রয়োগ করি:

\(\begin{array}{c} B C^{2}=A B^{2}+A C^{2} \\ B C^{2}=3^{2}+2^{2} \\ B C^{2}=9+4=13 \\ B C=\sqrt{13} \end{array}\)

ধাপ ২: \(\sin B\) এর মান

\(\begin{array}{c} \sin B=\frac{\text { লম্ব }}{\text { কণ }}=\frac{A C}{B C} \\ \sin B=\frac{2}{\sqrt{13}} \end{array}\)

\(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}\)

\(= \sqrt{12^2 + 5^2} = 13\)

\(\therefore \sin\theta = \frac{BC}{AC} = \frac{5}{13}\)

চিত্র হতে পাই,

\(\triangle A B C-এ\)

\(\begin{array}{l} B C^{2}=A C^{2}+A B^{2} \\ \Rightarrow(2)^{2} =(1)^{2}+A B^{2} \end{array}\)

\(\Rightarrow A B^{2}=4-1\)

\(\Rightarrow A B^{2}=3\)

\(\therefore A B=\sqrt{3}\)

\(\begin{aligned} \therefore \tan y & =\frac{ লম্ব } { ভুমি } =\frac{A B}{A C} \\ & =\frac{\sqrt{3}}{1} \\ & =\sqrt{3} \end{aligned}\)

\(\tan A \sqrt{1-\sin ^{2} A}=\frac{\sin A}{\cos A} \times \cos A=\sin A\)

\(\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta} = \frac{1}{\frac{2}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \sin \theta \cdot \sec \theta\)

\(= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = \sqrt{3}\)

ত্রিভুজ ABC তে,

\(A C=\sqrt{A B^{2}+B C^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2\)

\(\begin{array}{l} P R^{2}=P Q^{2}+Q R^{2} \\ \Rightarrow P R=\sqrt{P Q^{2}+Q R^{2}} \\ =\sqrt{3^{2}+4^{2}} \\ =5 \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \therefore \tan \theta+\sin \theta \\ =\frac{P Q}{Q R}+\frac{P Q}{P R} \\ =\frac{3}{4}+\frac{3}{5}=\frac{15+12}{20} \\ =\frac{27}{20} \end{array}\)