\(x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2.x.\frac{1}{x}\)

\(=(\sqrt{5})^2-2=5-2=3\)

.: (iii) নং তথ্যটি সঠিক নয়।

\(\begin{aligned} & a^{2}-4 a-1=0 \\ \Rightarrow & a^{2}-1=4 a \\ \Rightarrow & \frac{a^{2}-1}{4 a}=1 \\ \Rightarrow & \frac{a^{2}}{a}-\frac{1}{a}=4 \\ \Rightarrow & a-\frac{1}{a}=4\end{aligned}\)

\(\begin{aligned} \therefore a^{2}+\frac{1}{a^{2}} & =\left(a-\frac{1}{a}\right)^{2}+2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} \\ & =4^{2}+2 \\ & =16+2 \\ & =-18\end{aligned}\)

\(p^2=13+\sqrt{168}=13+2\sqrt{42}=(\sqrt{7})^2+2.\sqrt{7}.\sqrt{6}+(\sqrt{6})^2=(\sqrt{7}+\sqrt{6})^2\)

\(\therefore p=\sqrt{7}+\sqrt{6}\)

\(\therefore \frac{1}{p}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{6})^2}=\sqrt{7}-\sqrt{6}\)

We are given the equation:

\(p-\frac{1}{p}=7\)

We need to determine the value of: \({\frac{p}{p^2 - 6p - 1}}\).

Step 1: Express \(p^{2}\) in terms of \(p\)

Squaring both sides of the given equation:

\(\begin{array}{c} p-\frac{1}{p}^{2}=7^{2} \\ p^{2}-2+\frac{1}{p^{2}}=49 \\ p^{2}+\frac{1}{p^{2}}=51 \end{array}\)

Multiplying both sides of the given equation \(p-\frac{1}{p}=7\) by \(p\) :

\(\begin{array}{c} p^{2}-1=7 p \\ p^{2}-7 p-1=0 \end{array}\)

Step 2: Compute the denominator \(p^{2}-6 p-1\)

We rewrite:

\(p^{2}-6 p-1=\left(p^{2}-7 p-1\right)+p\)

Since \(p^{2}-7 p-1=0\), replacing it:

\(0+p=p\)

Step 3: Compute the given expression

\(\frac{p}{p^{2}-6 p-1}=\frac{p}{p}=1\)

প্রদত্ত সমীকরণগুলি হল:

\(a+b=6 \quad \text { এবং } \quad a-b=4\)

ধাপ 1: \(a\) এবং \(b\) এর মান নির্ণয়

প্রথমে আমরা \(a\) এবং \(b\) এর মান বের করব। প্রদত্ত সমীকরণ দুটি যোগ করলে:

\(\begin{array}{c} (a+b)+(a-b)=6+4 \\ 2 a=10 \\ a=5 \end{array}\)

এখন \(a=5\) কে প্রথম সমীকরণে বসালে:

\(\begin{array}{c} 5+b=6 \\ b=1 \end{array}\)

ধাপ 2: \(a^{2}-b^{2}\) এর মান নির্ণয়

\(a^{2}-b^{2}\) এর মান নির্ণয় করতে হলে:

\(a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)=6 \times 4=24\)

ধাপ 3: \(a^{2}+b^{2}\) এর মান নির্ণয়

\(a^{2}+b^{2}\) এর মান নির্ণয় করতে হলে:

\(a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2 a b=6^{2}-2 a b=36-2 a b\)

\(a b\) এর মান নির্পয় করতে হলে:

\(a b=\frac{(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}=\frac{6^{2}-4^{2}}{4}=\frac{36-16}{4}=\frac{20}{4}=5\)

অতএব:

\(a^{2}+b^{2}=36-2 \times 5=36-10=26\)

ধাপ 4: \(4 a b\) এর মান নির্ণয়

\(4 a b\) এর মান নির্ণয় করতে হলে:

\(4 a b=4 \times 5=20\)

উত্তর:

i. \(a^{2}-b^{2}=24\)

সঠিক

ii. \(a^{2}+b^{2}=26\)

সঠিক

iii. \(4 a b=20\)

সঠিক

অতএব, i, ii, এবং iii সবগুলি সঠিক।

\(x^2-3x+1=0\)

বা, \(x^2+1=3x\)

বা, \(\frac{x^2+1}{x} = \frac{3x}{x}\)

বা, \(x+\frac{1}{x}=3\)

বা, \((x+\frac{1}{x})^2=9\)

বা, \(x^2+2.x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=9\)

\(\therefore x^2+\frac{1}{x^2}=9-2=7\)

প্রদত্ত, \(a = 6.5\) এবং \(b = 3.5\)।

প্রকাশনা \(a^{2} - 2ab + b^{2}\) কে সরলীকৃত করলে পাই:

\(a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2}\)।

অতএব, \((a - b)^{2} = (6.5 - 3.5)^{2} = 3^{2} = 9\)।

সুতরাং, \(a^{2} - 2ab + b^{2}\) এর মান হল 9।

\(x^4-x^2+1=0\)

বা, \(x^4+1=x^2\)

বা, \(\frac{x^4+1}{x^2} = \frac{x^2}{x^2}\)

\(\therefore x^2+\frac{1}{x^2}=1\)