দেওয়া আছে, \(7^{3x-6} = (\sqrt{5})^{6x-12}\)

বা, \(7^{3x-6} = 5^{3x-6}\) বা, \((\frac{7}{5})^{3x-6} = (\frac{7}{5})^0\)

বা, \(3x-6=0 \therefore x=2\)

(i) x-এর e ভিত্তিক লগ হচ্ছে \(\ln x\) → সঠিক।

(ii) e ভিত্তিক লগ 10 ভিত্তিক লগের 2.303 গুণ?

সূত্র: \(\log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}\) এবং \(\ln 10 \approx 2.302585\)

তাহলে \(\ln x \approx 2.302585 \times \log_{10} x\)

অর্থাৎ e ভিত্তিক লগ, 10 ভিত্তিক লগের 2.302585... গুণ – বলা হয়েছে 2.303 গুণ, প্রায় সঠিক। → সঠিক।

(iii) \(\sqrt{27}\) এর 10 ভিত্তিক লগ \(\log \sqrt{27}\)

সাধারণত log লেখা মানে ভিত্তি 10 ধরা হয়, তাই \(\log_{10}\sqrt{27}\) → সঠিক।

তিনটিই সঠিক।

\(\begin{array}{l}\left(y^{y}\right)^{\sqrt{y}}=(y \sqrt{y})^{y} \text { বা, }\left(y^{y}\right)^{\sqrt{y}}=\left(y^{1+\frac{1}{2}}\right)^{y} \text { বা, }\left(y^{y}\right)^{\sqrt{y}}=\left(y^{\frac{3}{2}}\right)^{y} \\ \text { বা, }\left(y^{y}\right)^{\sqrt{y}}=\left(y^{y}\right)^{\frac{3}{2}} \therefore \sqrt{y}=\frac{3}{2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left(\log _{a} b \times \log _{b} c\right) \times \log _{c} d \\ =\log _{a} c \times \log _{c} d\left[\log _{M} N=\log _{M} k \times \log _{k} M\right] \\ =\log _{a} d\end{array}\)

\(f(x)=4^{x}\)

ফাংশনটি x এ সকল বাস্তব মানের জন্য সঙ্গায়িত।

\(\therefore\) ডো

মেন

a এর r তম মূল হচ্ছে \(\sqrt[r]{a}\), যা x দ্বারা প্রকাশ করলে হবে \(\sqrt[r]{a} = x\)।

প্রদত্ত রাশি: \(\left[1 + \left\{-\left(1 - \sqrt{2}\right)^{-1}\right\}^{-1}\right]^{-1}\)

ধাপে ধাপে সমাধান করি:

ধাপ ১: ভেতর থেকে শুরু করি, \(\left\{-\left(1 - \sqrt{2}\right)^{-1}\right\}^{-1}\)

আমরা জানি, \((a^{-1})^{-1} = a\)

সুতরাং, \(\left\{-\left(1 - \sqrt{2}\right)^{-1}\right\}^{-1} = -\left(1 - \sqrt{2}\right)\)

\(= -1 + \sqrt{2}\)

\(= \sqrt{2} - 1\)

ধাপ ২: পুরো রাশির মান বের করি

\(\left[1 + \left(\sqrt{2} - 1\right)\right]^{-1}\)

\(= \left[\sqrt{2}\right]^{-1}\)

\(= \frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\begin{aligned} & \log _{3}\left(\frac{1}{3 \sqrt{3}}\right) \\ = & \log _{3}\left(\frac{1}{3^{1 / 3}}\right) \\ = & \log _{3} 3^{-\frac{1}{3}} \\ = & -\frac{1}{3} \log _{3} 3=-\frac{1}{3} \times 1 \\ = & -\frac{1}{3} .\end{aligned}\)

\(\left(\frac{1}{b^{m}}\right)^{\frac{1}{n}}\)

\(=\left(b^{-m}\right)^{\frac{1}{n}} \quad\left[\because \frac{1}{a^{n}}=a^{-n}\right]\)

\(=b^{-m \times \frac{1}{n}} \quad\left[\because\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m n}\right]\)

\(=b^{-\frac{m}{n}}\)

\(=\frac{1}{b^{\frac{m}{n}}}\)

\(\begin{array}{l}(\sqrt{5})^{x+3}=125 \\ \Rightarrow(\sqrt{5})^{x+3}=5^{3} \\ \Rightarrow(\sqrt{5})^{x+3}=(\sqrt{5})^{2 \times 3} \\ \Rightarrow x+3=6 \\ \Rightarrow x=6-3=3 \\ \therefore x=3\end{array}\)

\(3^{x+y} = 1 \Rightarrow 3^{x+y} = 3^0\)

\(\Rightarrow x+y = 0 \Rightarrow x = -y\) .......(i)

আবার, \(7^{3x-y} = 49 \Rightarrow 7^{3x-y} = 7^2\)

\(\Rightarrow 3x - y = 2\) ........(ii)

(i) এবং (ii) নিয়ে পাই, \(3x + x = 2\)

\(\Rightarrow 4x = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\)

(i) নং হতে পাই, \(y = -\frac{1}{2}\)

\(\therefore x^y = \left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{1}{2}} = \sqrt{2}\)

\(\begin{array}{l} x^{a}=y……(1) \\ y^{b}=z ……(2)\\ z^{c}=x………(3) \end{array}\)

(1) থেকে \(y=x^{a}\) কে (2) এ বসিয়ে:

\(\begin{array}{c} \left(x^{a}\right)^{b}=z \Longrightarrow x^{a b}=z \\ x^{a b}=z \text { কে (3) এ বসিয়ে: } \\ \left(x^{a b}\right)^{c}=x \Longrightarrow x^{a b c}=x^{1} \end{array}\)

সূচক তুলনা করে:

\(a b c=1\)

\(\begin{aligned} & a^{x}=y \\ \Rightarrow & \ln a^{x}=\ln y \\ \Rightarrow & x \ln a=\ln y \\ \Rightarrow & x=\frac{\ln y}{\ln a} \\ \therefore & x=\log _{a} y\end{aligned}\)