Q: 1+4+7+10+.......i. ইহা একটি অসীম সমান্তর ধারাii. ধারাটির সপ্তম পদ 19iii. প্রথম ১টি পদের সমষ্টি 32নিচের কোনটি সঠিক?

i ও ii ধারাটির ১ম পদ $\mathrm{a}=1$; সাধারণ অন্তর $\mathrm{d}=4-1=3$$\therefore$ ধারাটির ১ম 5 টি পদের সমষ্টি $\mathrm{S}_{5}=\frac{5}{2}\{2 \times 1+(5-1) \times 3\}$$=\frac{5}{2}(2+4 \times 3)=\frac{5}{2} \times 14=35$$\therefore$ (iii) নং তথ্যটি সঠিক নয় ।

Q: $5-1+\frac{1}{5}-\frac{1}{25}+\ldots \ldots$ একটি ধারা।ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

$\frac{25}{6}$ ধারা:$5 - 1 + \frac{1}{5} - \frac{1}{25} + \dots$প্রথম পদ $a = 5$, সাধারণ অনুপাত $r = -\frac{1}{5}$ (কারণ দ্বিতীয় পদ $-1$, $\frac{-1}{5} = -\frac{1}{5}$)এটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা, কারণ $|r| = \frac{1}{5} < 1$অসীমতক যোগফল:$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{5}{1 - (-\frac{1}{5})} = \frac{5}{1 + \frac{1}{5}} = \frac{5}{\frac{6}{5}} = 5 \times \frac{5}{6} = \frac{25}{6}$

Q: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 3 এবং সাধারণ অনুপাত $-\frac{2}{3}$ হলে, ধারাটি নিচের কোনটি?

$3-2+\frac{4}{3}- …….$ প্রদত্ত:প্রথম পদ (a): 3সাধারণ অনুপাত $(r):-\frac{2}{3}$গুণোত্তর ধারার সাধারণ র্রপ:$a+a r+a r^{2}+a r^{3}+\ldots$ধারাটি হবে:$\begin{array}{c} 3+3\left(-\frac{2}{3}\right)+3\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}+3\left(-\frac{2}{3}\right)^{3}+\ldots \\ =3-2+\frac{4}{3}-\frac{8}{9}+\ldots \end{array}$

Q: $1. \dot{2}$ কে মূলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ করলে কত হবে?

$\frac{11}{9}$ $1. \dot{2}$ মানে হল 1.22222... যার মধ্যে 2 সংখ্যাটি পুনরাবৃত্ত হচ্ছে। এবার এটি মূলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ করার জন্য আমরা নিচের পদ্ধতি ব্যবহার করবো:ধরি, $x = 1.\dot{2} = 1.22222...$তাহলে, দুই দিকেই ১০ গুণ করলে পাই:$10x = 12.22222...$এখন, $10x - x = 12.22222... - 1.22222...$$9x = 11$$x = \frac{11}{9}$সুতরাং, $1. \dot{2}$ কে মূলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ করলে $\frac{11}{9}$ হবে।

Q: নিচের কোন অনুক্রমের সাধারণ পদ $\frac{n-1}{n^2+1}$?

$\frac{1}{2}, \frac{5}{10}, ...$

Q: $6 + 3 + \frac{3}{2} + ......$ ধারাটির 20 তম পদ কত?

$\frac{3}{2^{18}}$ $6+3+\frac{3}{2}+.....$ যা একটি গুণোত্তর ধারা এখানে, প্রথম পদ, $a=6$, সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ এবং $n=20$ গুণোত্তর ধারাটির n-তম পদ $=ar^{n-1}$ $\therefore$ 20 তম পদ $=6\left(\frac{1}{2}\right)^{20-1}=6\times\frac{1}{2^{19}}=\frac{3}{2^{18}}$

Q: $6+3+\frac{3}{2}+………$ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

12 ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, $\mathrm{S}_{\infty}=\frac{\mathrm{a}}{1-\mathrm{r}}=\frac{6}{1-\frac{1}{2}}=12$

Q: $\cos \left( \frac{n\pi}{2} \right)$ অনুক্রমটির প্রথম চারটি পদ নিচের কোনটিতে প্রকাশ পেয়েছে?

$0, -1, 0, 1$ $\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)$ অনুক্রমটির প্রথম চারটি পদ ($n = 1, 2, 3, 4$ এর জন্য) নিচে নির্ণয় করা হলো:১ম পদ ($n = 1$):$\cos\left(\frac{1 \cdot \pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$২য় পদ ($n = 2$):$\cos\left(\frac{2 \cdot \pi}{2}\right) = \cos(\pi) = -1$৩য় পদ ($n = 3$):$\cos\left(\frac{3 \cdot \pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$৪র্থ পদ ($n = 4$):$\cos\left(\frac{4 \cdot \pi}{2}\right) = \cos(2\pi) = 1$অনুক্রমটির প্রথম চারটি পদ:$0, -1, 0, 1$

Q: 4 – 4 + 4 – 4 + ..... ধারাটির প্রথম 110টি পদের সমষ্টি কত?

0 প্রদত্ত ধারাটি: $4-4+4-4+\ldots$ ধারাটির প্রকৃতি বিশ্লেষণ প্রতিটি বিজোড় পদ (১ম, ৩য়, ৫ম, ...): +4 প্রতিটি জোড় পদ (২য়, 8র্থ, ৬ষ্ঠ, ...): -4 110টি পদের মধ্যে পদ সংখ্যা গণনা বিজোড় পদ সংখ্যা: $\frac{110}{2}=55$জোড় পদ সংখ্যা: 55 সমষ্টি নির্ণয় বিজোড় পদের সমষ্টি: $55 \times 4=220$ জোড় পদের সর্মষ্টি: $55 \times(-4)=-220$ মোট সর্মষ্টি: $220+(-220)=0$

Q: $\frac{1}{4^{\mathrm{n}}}$ একটি ধারার সাধারণ পদ হলে(যেখানে $n \in \R$ )-i. ধারাটি অসীমii. ষষ্ঠ পদ 4096iii. ধারাটি হবে $\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\ldots .$.নিচের কোনটি সঠিক?

i ও iii প্রদত্ত ধারাটির সাধারণ পদ হল $\frac{1}{4^n}$।i. ধারাটি অসীম কিনা: যেহেতু ধারাটির সাধারণ পদ $n$-এর উপর নির্ভর করে এবং $n \to \infty$ হিসাবে $\frac{1}{4^n} \to 0$ হয়, তাই সাধারণভাবে বলা যায় যে ধারাটি অসীম দীর্ঘ হবে কারণ এর সদস্যসংখ্যা অসীম হতে পারে। তাই এটি সঠিক।ii. ষষ্ঠ পদ 4096 কিনা: ষষ্ঠ পদ হবে $\frac{1}{4^6} = \frac{1}{4096}$ যা $4096$ নয়। সুতরাং এটি ভুল।iii. ধারাটি $\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\ldots$: এই ধারাটি যখন $n = 1, 2, 3, \ldots$ হয় তখন যথাক্রমে $\frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \frac{1}{64}$ হবে। তাই এটি সঠিক।সুতরাং, সঠিক উত্তর হবে: i ও iii

Question 1

$S = 5 + \frac{5}{4} + \frac{5}{16} + \frac{5}{64} + \ldots$ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

Accepted Answer

$\frac{20}{3}$

Question 2

1+4+7+10+.......i. ইহা একটি অসীম সমান্তর ধারাii. ধারাটির সপ্তম পদ 19iii. প্রথম ১টি পদের সমষ্টি 32নিচের কোনটি সঠিক?

Accepted Answer

i ও ii ধারাটির ১ম পদ $\mathrm{a}=1$; সাধারণ অন্তর $\mathrm{d}=4-1=3$$\therefore$ ধারাটির ১ম 5 টি পদের সমষ্টি $\mathrm{S}_{5}=\frac{5}{2}\{2 \times 1+(5-1) \times 3\}$$=\frac{5}{2}(2+4 \times 3)=\frac{5}{2} \times 14=35$$\therefore$ (iii) নং তথ্যটি সঠিক নয় ।

Question 3

$5-1+\frac{1}{5}-\frac{1}{25}+\ldots \ldots$ একটি ধারা।ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

Accepted Answer

$\frac{25}{6}$ ধারা:$5 - 1 + \frac{1}{5} - \frac{1}{25} + \dots$প্রথম পদ $a = 5$, সাধারণ অনুপাত $r = -\frac{1}{5}$ (কারণ দ্বিতীয় পদ $-1$, $\frac{-1}{5} = -\frac{1}{5}$)এটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা, কারণ $|r| = \frac{1}{5} < 1$অসীমতক যোগফল:$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{5}{1 - (-\frac{1}{5})} = \frac{5}{1 + \frac{1}{5}} = \frac{5}{\frac{6}{5}} = 5 \times \frac{5}{6} = \frac{25}{6}$

Question 4

একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 3 এবং সাধারণ অনুপাত  $-\frac{2}{3}$ হলে, ধারাটি নিচের কোনটি?

Accepted Answer

$3-2+\frac{4}{3}- …….$ প্রদত্ত:প্রথম পদ (a): 3সাধারণ অনুপাত $(r):-\frac{2}{3}$গুণোত্তর ধারার সাধারণ র্রপ:$a+a r+a r^{2}+a r^{3}+\ldots$ধারাটি হবে:$\begin{array}{c} 3+3\left(-\frac{2}{3}\right)+3\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}+3\left(-\frac{2}{3}\right)^{3}+\ldots \ =3-2+\frac{4}{3}-\frac{8}{9}+\ldots \end{array}$

Question 5

$1. \dot{2}$ কে মূলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ করলে কত হবে?

Accepted Answer

$\frac{11}{9}$ $1. \dot{2}$ মানে হল 1.22222... যার মধ্যে 2 সংখ্যাটি পুনরাবৃত্ত হচ্ছে। এবার এটি মূলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ করার জন্য আমরা নিচের পদ্ধতি ব্যবহার করবো:ধরি, $x = 1.\dot{2} = 1.22222...$তাহলে, দুই দিকেই ১০ গুণ করলে পাই:$10x = 12.22222...$এখন, $10x - x = 12.22222... - 1.22222...$$9x = 11$$x = \frac{11}{9}$সুতরাং, $1. \dot{2}$ কে মূলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ করলে $\frac{11}{9}$ হবে।

Question 6

নিচের কোন অনুক্রমের সাধারণ পদ $\frac{n-1}{n^2+1}$?

Accepted Answer

$\frac{1}{2}, \frac{5}{10}, ...$

Question 7

$U_n = \frac{3-(-1)^n}{4}$ একটি অনুক্রমের n তম পদ হলে-
i. প্রথম পদ 2
ii. 16 তম পদ $\frac{1}{2}$
iii. প্রথম 20টি পদের সমষ্টি 15
নিচের কোনটি সঠিক?

Accepted Answer

ii ও iii

Question 8

$6 + 3 + \frac{3}{2} + ......$ ধারাটির 20 তম পদ কত?

Accepted Answer

$\frac{3}{2^{18}}$  $6+3+\frac{3}{2}+.....$ যা একটি গুণোত্তর ধারা এখানে, প্রথম পদ, $a=6$, সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ এবং $n=20$ গুণোত্তর ধারাটির n-তম পদ $=ar^{n-1}$ $\therefore$ 20 তম পদ $=6\left(\frac{1}{2}\right)^{20-1}=6\times\frac{1}{2^{19}}=\frac{3}{2^{18}}$

Question 9

$6+3+\frac{3}{2}+………$ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

Accepted Answer

12 ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, $\mathrm{S}_{\infty}=\frac{\mathrm{a}}{1-\mathrm{r}}=\frac{6}{1-\frac{1}{2}}=12$

Question 10

$\sqrt{3}+1+\frac{1}{\sqrt{3}}+...$ ধারাটির—i. সাধারণ অনুপাত $\sqrt{3}$ii. ৭ম পদ $\frac{1}{3\sqrt{3}}$iii. প্রথম ৬ পদের সমষ্টি $\frac{13(\sqrt{3}+1)}{9}$নিচের কোনটি সঠিক?

Accepted Answer

ii ও iii

Question 11

$\cos \left( \frac{n\pi}{2} \right)$ অনুক্রমটির প্রথম চারটি পদ নিচের কোনটিতে প্রকাশ পেয়েছে?

Accepted Answer

$0, -1, 0, 1$ $\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)$ অনুক্রমটির প্রথম চারটি পদ ($n = 1, 2, 3, 4$ এর জন্য) নিচে নির্ণয় করা হলো:১ম পদ ($n = 1$):$\cos\left(\frac{1 \cdot \pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$২য় পদ ($n = 2$):$\cos\left(\frac{2 \cdot \pi}{2}\right) = \cos(\pi) = -1$৩য় পদ ($n = 3$):$\cos\left(\frac{3 \cdot \pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$৪র্থ পদ ($n = 4$):$\cos\left(\frac{4 \cdot \pi}{2}\right) = \cos(2\pi) = 1$অনুক্রমটির প্রথম চারটি পদ:$0, -1, 0, 1$

Question 12

4 – 4 + 4 – 4 + ..... ধারাটির প্রথম 110টি পদের সমষ্টি কত?

Accepted Answer

0 প্রদত্ত ধারাটি:
$4-4+4-4+\ldots$

ধারাটির প্রকৃতি বিশ্লেষণ
 প্রতিটি বিজোড় পদ (১ম, ৩য়, ৫ম, ...): +4
 প্রতিটি জোড় পদ (২য়, 8র্থ, ৬ষ্ঠ, ...): -4   110টি পদের মধ্যে পদ সংখ্যা গণনা
 বিজোড় পদ সংখ্যা: $\frac{110}{2}=55$জোড় পদ সংখ্যা: 55

সমষ্টি নির্ণয়
বিজোড় পদের সমষ্টি: $55 \times 4=220$
জোড় পদের সর্মষ্টি: $55 \times(-4)=-220$
মোট সর্মষ্টি: $220+(-220)=0$

Question 13

$\frac{1}{4^{\mathrm{n}}}$ একটি ধারার সাধারণ পদ হলে(যেখানে $n \in \R$ )-i. ধারাটি অসীমii. ষষ্ঠ পদ 4096iii. ধারাটি হবে $\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\ldots .$.নিচের কোনটি সঠিক?

Accepted Answer

i ও iii প্রদত্ত ধারাটির সাধারণ পদ হল $\frac{1}{4^n}$।i. ধারাটি অসীম কিনা: যেহেতু ধারাটির সাধারণ পদ $n$-এর উপর নির্ভর করে এবং $n \to \infty$ হিসাবে $\frac{1}{4^n} \to 0$ হয়, তাই সাধারণভাবে বলা যায় যে ধারাটি অসীম দীর্ঘ হবে কারণ এর সদস্যসংখ্যা অসীম হতে পারে। তাই এটি সঠিক।ii. ষষ্ঠ পদ 4096 কিনা: ষষ্ঠ পদ হবে $\frac{1}{4^6} = \frac{1}{4096}$ যা $4096$ নয়। সুতরাং এটি ভুল।iii. ধারাটি $\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\ldots$: এই ধারাটি যখন $n = 1, 2, 3, \ldots$ হয় তখন যথাক্রমে $\frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \frac{1}{64}$ হবে। তাই এটি সঠিক।সুতরাং, সঠিক উত্তর হবে: i ও iii

Question 14

একটি ধারার $n$ তম পদ = $2-(-2)^{n-1}$ হলে নিচের কোনটি সঠিক?

Accepted Answer

ধারার ৫ম পদ = - 14 ধারার $n$-তম পদ:$a_{n}=2-(-2)^{n-1}$প্রথম ৫টি পদ:$\begin{array}{l} a_{1}=2-(-2)^{0}=1 \ a_{2}=2-(-2)^{1}=4 \ a_{3}=2-(-2)^{2}=-2 \ a_{4}=2-(-2)^{3}=10 \ a_{5}=2-(-2)^{4}=-14 \end{array}$সুতরাং  ধারার ৫ম পদ = - 14

Question 15

3 $+\frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2 \sqrt{2}}+\ldots \ldots$ একটি অসীম ধারা। ধারারটির অষ্টম পদ কত?

Accepted Answer

$\frac{3}{8\sqrt{2}}$

উচ্চতর গণিত — অসীম ধারা MCQ