\((y+3)\)

\(P(-3)=(-3)^{3}+4(-3)^{2}+(-3)-6=-27+36-3-6=0\)

\(\therefore(y+3)\) একর্টি উৎপাদক।

আমরা \(x=2\) বসিয়ে পরীক্ষা করব:

\((2)^{3}+4(2)^{2}-11(2)-30=8+16-22-30=-28 \neq 0\)

\(x=3\) বসিয়ে পরীক্ষা করব:

\((3)^{3}+4(3)^{2}-11(3)-30=27+36-33-30=0\)

সুতরাং, \(x=3\) হলো বহুপদীর একটি মূল। এর অর্থ হলো, \((x-3)\) হলো বহুপদীর একটি উৎপাদক।

বহুপদীকে \((x-3)\) দ্বারা ভাগ করুন

বহুপদী \(x^{3}+4 x^{2}-11 x-30\) কে \((x-3)\) দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হলো:

\(x^{2}+7 x+10\)

ভাগফলকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন

\(x^{2}+7 x+10=(x+2)(x+5)\)

বহুপদীর উৎপাদকগুলি লিখুন

সুতরাং, বহুপদীর উৎপাদকগুলি হলো:

\((x-3)(x+2)(x+5)\)

সমমাত্রিক বহুপদী হলো এমন একটি বহুপদী যার প্রত্যেক পদে সব ভেরিয়েবলগুলোর ঘাতের যোগফল একই থাকে।

\(x^{3}+3 x^{2} y+3 x y^{2}+y^{3}\)

সব পদের ঘাতের যোগফল:

- \(x^{3} \rightarrow 3\)

- \(3 x^{2} y \rightarrow 2+1=3\)

- \(3 x y^{2} \rightarrow 1+2=3\)

- \(y^{3} \rightarrow 3\)

এই বহুপদীটি সমমাত্রিক।

\(\frac{x+5}{(x-1)(x-3)} \equiv \frac{P}{(x-1)}+\frac{Q}{(x-3)} \text { বা, } x+5=P(x-3)+Q(x-1)\)

\(x=3\) বসিয়ে পাই, \(8=2 Q \therefore Q=4\)

\(\mathrm{x}=1\) বসিয়ে পাই, \(6=-2 \mathrm{P}, \therefore \mathrm{P}=-3\)

\(x=2\) বসিয়ে \(p(2)=0\) সমীকরণ তৈরি করুন

\(\mathrm{p}(2)=(2)^{4}-\mathrm{a}(2)^{3}+7(2)^{2}-4=0\)

মানগুলি গণনা করুন

\(\begin{aligned} 2^{4} & =16, \quad 2^{3}=8, \quad 2^{2}=4 \\ p(2) & =16-\mathrm{a} \cdot 8+7 \cdot 4-4=0 \end{aligned}\)

সমীকরণ সরলীকরণ করুন

\(\begin{array}{c} 16-8 a+28-4=0 \\ (16+28-4)-8 a=0 \\ 40-8 a=0 \end{array}\)

a এর মান নির্ণয় করুন

\(\begin{array}{c} 40-8 a=0 \\ 8 a=40 \\ a=\frac{40}{8}=5 \end{array}\)

\(\mathrm{p}(\mathrm{x})\) এর মাত্রা

বহুপদী \(\mathrm{p}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{4}-\mathrm{ax}^{3}+7 \mathrm{x}^{2}-4\) এর সর্বোচ্চ ঘাত হলো \(\mathrm{x}^{4}\), অর্থাৎ এর মাত্রা হলো 4 ।

\(\frac{5x-7}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{3}{x-2}\) বা, \(5x-7 = A(x-2) + 3(x-1)\)

বা, \(5 \times 1 - 7 = A(1-2)\) [\(x=1\) বসিয়ে]

বা, \(-2 = -A \therefore A = 2\)

\(x+2=0\) হলে \(x=-2\)

ভাগশেষ হবে \(p(-2):\)

\(p(-2)=(-2)^{3}-(-2)+3\)

মানগুলি গণনা করুন

\(\begin{array}{c} p(-2)=-8+2+3 =-3\end{array}\)

ভাগশেষ হলো:

\(\begin{array}{|l|} \hline-3 \\ \hline \end{array}\)

বহুপদীটি হলো

\(-2x^8 + 4x^2 - 5x^4 - \frac{1}{2}x^3 + 4\)

মুখ্য পদ = যে পদের ঘাত (power) সবচেয়ে বেশি। এখানে সবচেয়ে বড় ঘাত হলো 8, অর্থাৎ মুখ্য পদ

\(-2x^8\)

তাই মুখ্যসহগ = -2

দেওয়া আছে

\(\frac{(x-1)(x-5)}{(x-2)(x-4)} = 1 + \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-4}\)

\(1 + \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-4} = \frac{(x-2)(x-4) + A(x-4) + B(x-2)}{(x-2)(x-4)}\)

অতএব,

\((x-1)(x-5) = (x-2)(x-4) + A(x-4) + B(x-2)\)

বামপাশ:

\((x-1)(x-5) = x^2 - 6x + 5\)

ডানপাশ:

\((x-2)(x-4) = x^2 - 6x + 8\)

তাই

\(x^2-6x+5 = (x^2-6x+8)+A(x-4)+B(x-2)\)

উভয় পাশে \(x^2 - 6x\) কেটে দিলে:

\(5 = 8+A(x-4)+B(x-2)\)

\(-3 = A(x-4)+B(x-2)\)

\(x = 2\) বসাই

\(-3 = A(2-4)+B(2-2) \Rightarrow -3 = -2A+0 \Rightarrow A = \frac{3}{2}\)

ভাগশেষ উপপাদ্য প্রয়োগ:

যদি \((x-a)\) বহুপদীর একটি উৎপাদক হয়, তাহলে \(P(a)=0\) হবে।

আমরা সম্ভাব্য উৎপাদক \((x \pm 1),(x \pm 2),(x \pm 3)\), ইত্যাদি পরীক্ষা করব।

সম্ভাব্য উৎপাদক পরীক্ষা:

\(x=2\) :

\(P(2)=(2)^{3}+4(2)^{2}-11(2)-30=8+16-22-30=-28 \neq 0\)

\(\therefore(x-2)\) উৎপাদক নয়।

\(x=-2\) :

\(P(-2)=(-2)^{3}+4(-2)^{2}-11(-2)-30=-8+16+22-30=0\)

\(\therefore(x+2)\) একরটি উৎপাদক।

উৎপাদক নিশ্চিতকরণ:

বহুপদীকে \((x+2)\) দ্বারা ভাগ করে দেখি:

\(\frac{x^{3}+4 x^{2}-11 x-30}{x+2}=x^{2}+2 x-15\)

ভাগশেষ শূন্য হয়, যা নিশ্চিত করে \((x+2)\) একরি উৎপাদক।